Question

已知橢圓的長軸長為，離心率為，分別為其左右焦點．一動圓過點，且與直線相切．

（1）(ⅰ)求橢圓的方程；（ⅱ)求動圓圓心軌跡的方程；

（2）在曲線上有四個不同的點，滿足與共線，與共線，且，求四邊形面積的最小值．

 

Answer 1

（1）(�。�；（ⅱ） ；（2）. 四邊形面積的最小值為.

【解析】

試題分析：（1）(ⅰ)由題意，,再結合解出的值從而得到橢圓的標準方程；(ⅱ)由條件“動圓過點，且與直線相切”知動圓圓心到定點的距離等于到定直線的距離，且定點不在定直線上，所以動圓圓心的軌跡是以為焦點，以為準線的拋物線；

（2）由題設知直線和直線互相垂直相交于點，且分別與物拋線有兩個交點，因此兩直線的斜率均存在且不為零，所以解決問題的基本思路是以其中一條直線的斜率為自變量，利用直線與拋物線相交的位置關系，將四邊形的面積表示成直線斜率的函數，轉化為函數的最值問題.

試題解析：（1）(ⅰ)由已知可得

則所求橢圓方程 3分

(ⅱ)由已知可得動圓圓心的軌跡為拋物線，且拋物線 的焦點為 ，準線方程為 ，則動圓圓心軌跡方程為 6分

（2）由題設知直線 的斜率均存在且不為零

設直線的斜率為, 則直線的方程為：

聯立

消去 可得 8分

由拋物線這義可知：

10分

同理可得 11分

又（當且僅當時取到等號)

所以四邊形面積的最小值為. 14分

考點：1、橢圓的標準方程；2、拋物線的定義與標準方程；3、直線與拋物線的位置關系綜合.