Question

【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為，平行于軸的兩條直線分別交于兩點(diǎn)，交的準(zhǔn)線于兩點(diǎn) .

（1）若在線段上，是的中點(diǎn)，證明；

（2）若的面積是的面積的兩倍，求中點(diǎn)的軌跡方程.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】

試題分析：設(shè)的方程為

．（1）由在線段上，又 ；（2）設(shè)與軸的交點(diǎn)為 （舍去），．設(shè)滿足條件的的中點(diǎn)為．當(dāng)與軸不垂直時(shí)．當(dāng)與軸垂直時(shí)與重合所求軌跡方程為．

試題解析：由題設(shè)，設(shè)，則，且

．

記過兩點(diǎn)的直線為，則的方程為．．．．．．．．．．．．．3分

（1）由于在線段上，故，

記的斜率為的斜率為，則，

所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分

（2）設(shè)與軸的交點(diǎn)為，

則，

由題設(shè)可得，所以（舍去），．

設(shè)滿足條件的的中點(diǎn)為．

當(dāng)與軸不垂直時(shí)，由可得．

而，所以．

當(dāng)與軸垂直時(shí)，與重合，所以，所求軌跡方程為 ．．．．．．．．．12分