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【題目】（本小題滿分12分）設函數，其中，曲線過點，且在點處的切線方程為．

（I）求的值；

（II）證明：當時，；

（III）若當時，恒成立，求實數的取值范圍．

【答案】（I），；（II）見解析；（III）.

【解析】

試題分析：（I）求函數的導數，由曲線過點可得，由在點處的切線方程為可得，列出方程組，解之即可；（II）令，求，得用導數求函數的單調性，求出函數的最小值，證即可；（III）設，由解之即可.

試題解析： （I），∴，

.

∴，.

（II） .

設，，，

，∴在上單調遞增，

∴，∴在上單調遞增，∴．

∴．

（III）設，，

由（2）中知，∴，

∴.

①當，即時，，∴在單調遞增，∴成立.

②當，即時，.

，令，得.

當時，，∴在上單調遞減，∴，不成立.

綜上，.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數

（1）若為曲線的一條切線，求a的值；

（2）已知，若存在唯一的整數，使得，求a的取值范圍.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】為了整頓食品的安全衛生，食品監督部門對某食品廠生產甲、乙兩種食品進行了檢測調研，檢測某種有害微量元素的含量，隨機在兩種食品中各抽取了10個批次的食品，每個批次各隨機地抽取了一件，下表是測量數據的莖葉圖（單位：毫克）.

規定：當食品中的有害微量元素的含量在時為一等品，在為二等品，20以上為劣質品.

（1）用分層抽樣的方法在兩組數據中各抽取5個數據，再分別從這5個數據中各選取2個，求甲的一等品數與乙的一等品數相等的概率；

（2）每生產一件一等品盈利50元，二等品盈利20元，劣質品虧損20元，根據上表統計得到甲、乙兩種食品為一等品、二等品、劣質品的頻率，分別估計這兩種食品為一等品、二等品、劣質品的概率，若分別從甲、乙食品中各抽取1件，設這兩件食品給該廠帶來的盈利為，求隨機變量的分布列和數學期望.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知點，橢圓：的離心率為，是橢圓的右焦點，直線的斜率為，為坐標原點．

（1）求的方程；

（2）設過點的動直線與相交于，兩點，當的面積最大時，求的直線方程．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某學校為了解高三年級學生寒假期間的學習情況，抽取甲、乙兩班，調查這兩個班的學生在寒假期間每天平均學習的時間（單位：小時），統計結果繪成頻率分別直方圖（如圖）．已知甲、乙兩班學生人數相同，甲班學生每天平均學習時間在區間的有8人．

（I）求直方圖中的值及甲班學生每天平均學習時間在區間的人數；

（II）從甲、乙兩個班每天平均學習時間大于10個小時的學生中任取4人參加測試，設4人中甲班學生的人數為，求的分布列和數學期望．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知直線（為參數），曲線（為參數）．

（I）設與相交于兩點，求；

（II）若把曲線上各點的橫坐標壓縮為原來的倍，縱坐標壓縮為原來的倍，得到曲線．設點是曲線上的一個動點，求它到直線的距離的最小值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知拋物線的焦點為，平行于軸的兩條直線分別交于兩點，交的準線于兩點 .

（1）若在線段上，是的中點，證明；

（2）若的面積是的面積的兩倍，求中點的軌跡方程.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】重慶八中大學城校區與本部校區之間的駕車單程所需時間為，只與道路暢通狀況有關，對其容量為500的樣本進行統計，結果如下：

（分鐘）

25

30

35

40

頻數（次）

100

150

200

50

以這500次駕車單程所需時間的頻率代替某人1次駕車單程所需時間的概率．

（1）求的分布列與；

（2）某天有3位教師獨自駕車從大學城校區返回本部校區，記表示這3位教師中駕車所用時間少于的人數，求的分布列與；

（3）下周某天張老師將駕車從大學城校區出發，前往本部校區做一個50分鐘的講座，結束后立即返回大學城校區，求張老師從離開大學城校區到返回大學城校區共用時間不超過120分鐘的概率．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知|a|＝4，|b|＝8，a與b的夾角是120°.

(1) 計算：① |a＋b|，② |4a－2b|；


(2) 當k為何值時，(a＋2b)⊥(ka－b)?

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