Question

20．已知曲線y=x+lnx在點（1，1）處的切線與曲線y=ax²+（a+2）x+1相切．求a的值．

Answer 1

分析 求出y=x+lnx的導數，求得切線的斜率，可得切線方程，再由于切線與曲線y=ax²+（a+2）x+1相切，有且只有一切點，進而可聯立切線與曲線方程，根據△=0得到a的值．

解答 解：y=x+lnx的導數為y′=1+$\frac{1}{x}$，
曲線y=x+lnx在x=1處的切線斜率為k=2，
則曲線y=x+lnx在x=1處的切線方程為y-1=2x-2，即y=2x-1．
由于切線與曲線y=ax²+（a+2）x+1相切，
y=ax²+（a+2）x+1可聯立y=2x-1，
得ax²+ax+2=0，
又a≠0，兩線相切有一切點，
所以有△=a²-8a=0，
解得a=8．

點評 本題考查導數的運用：求切線方程，主要考查導數的幾何意義：函數在某點處的導數即為曲線在該點處的導數，設出切線方程運用兩線相切的性質是解題的關鍵．