Question

設函數f(x)=

1

2a

x2-lnx(x＞0)，其中a為非零常數，
（1）當a=1時，求函數f（x）的單調區間．
（2）當x∈[1，2]時，不等式f（x）＞2恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求出導函數，當a=1時寫出函數式，對函數求導，f′（x）＞0，得到f（x）在（1，+∞）上遞增，得到函數的增區間．
（2）利用（1）的單調性，求出函數f（x）的極值，進一步求出函數的最值，得到參數a的范圍．

解答：解：（1）∵函數f(x)=

1

2a

x2-lnx(x＞0)，其中a為非零常數，
當a=1時，f（x）=

1

2

x2-lnx
f′(x)=x-

1

x

＞0，
∴當x＞1時，函數是一個增函數，
即函數的遞增區間是（1，+∞）
（2）當x屬于[1，2]，lnx＞0，
當a＞0時，命題可轉化為對于任意x屬于[1，2]，都有a＜

x2

2(2+lnx)

令g（x）=

x2

2(2+lnx)

，對函數求導得g′(x)=

6x+4xlnx

4(2+lnx)2

=0
∴x=e-

3

2

時，導數等于零，
經驗證這是函數的極小值，
在這個閉區間上也是最小值，
∴g（x）的最小值是g（e-

3

2

）=e^-3
即當a為大于0常數且小于e^-3時，不等式f（x）＞2恒成立，
當a＜0時，

1

2a

＞

lnx+2

x2

在x屬于[1，2]時，不合題意．
綜上可知a的取值范圍是（0，e^-3）

點評：利用導數求函數的在區間上的最值，應該先求出導函數，判斷出導函數的符號得到函數的單調性，求出函數的極值，同時求出函數的區間端點值，選出最值．