Question

設函數f(x)=

( 1 2 )x-1，x≥0 x2，x＜0

與函數g（x）的圖象關于直線y=x對稱，則當x＞0時，g（x）=

 

．

Answer 1

分析：由已知條件f（x）與g（x）的圖象關于直線y=x對稱可知，f（x）與g（x）互為反函數．根據互為反函數的兩個函數之間的關系可知，互為反函數的兩個函數定義域和值域互換．由函數g（x）中，x＞0可知函數f（x）的值域為f（x）＞0，又函數f（x）為分段函數，考查兩段的表達式可知當x＜0時，f（x）=x² 與當x＞0時的函數g（x）互為反函數．

解答：解：∵f（x）與g（x）的圖象關于直線y=x對稱    
∴f（x）與g（x）互為反函數
  又∵①當x≥0時，f（x）=（

1

2

）^x-1，f（x）≤0
     ②當x＜0時，f（x）=x²，f（x）＞0
  根據互為反函數的兩函數定義域與值域的關系，可知②復合題意
  又 f（x）=x²，x＜0的反函數為f^-1（x）=-

x

，（x＞0）
  所以當x＞0時，g（x）=-

x

  故答案為：-

x

．

點評：本題考查互為反函數的兩個函數之間定義域與值域之間的關系及分段函數反函數的求法．求分段函數的反函數，應先求各區間上的定義域及反函數，然后合并成一個函數．要注意分段函數的反函數仍為分段函數．