Question

19、設f（x）為奇函數，對任意x、y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0時，f（x）＜0，f（1）=-2，求f（x）在[-3，3]上的最值．

Answer 1

分析：根據題意先證明單調性，用單調性定義，先設x+y=x₁，x=x₂，且x₁＞x₂，y=x₁-x₂f（x₁）-f（x₂）=f（x₁-x₂），
再由x＞0時，f（x）＜0來判斷符號，然后利用單調性求得最值．

解答：解：設x+y=x₁，x=x₂，且x₁＞x₂，y=x₁-x₂
f（x₁）-f（x₂）=f（x₁-x₂）＜0
∴f（x）在定義域上是減函數．
又∵f（3）=f（2+1）=f（2）+f（1）=3f（1）=-6
又∵f（x）為奇函數，
∴f（-3）=-f（3）=6
∴f（x）在[-3，3]上的最大值為：f（-3）=6，最小值為：f（3）=-6

點評：本題考查的是抽象函數，涉及到其單調性和最值，解決這類問題關鍵是利用好條件，將問題轉化到函數性質的定義上去應用．