Question

13．公園里有一扇形湖面，管理部門打算在湖中建一三角形觀景平臺，希望面積與周長都最大．如圖所示扇形AOB，圓心角AOB的大小等于$\frac{π}{3}$，半徑為2百米，在半徑OA上取一點C，過點C作平行于OB的直線交弧AB于點P．設∠COP=θ；
（1）求△POC面積S（θ）的函數表達式．
（2）求S（θ）的最大值及此時θ的值．

Answer 1

分析 （1）由已知可得∠CPO=∠POB=$\frac{π}{3}$-θ，利用正弦定理可求CP=$\frac{4}{\sqrt{3}}$sinθ，OC=$\frac{4}{\sqrt{3}}$sin（$\frac{π}{3}$-θ），利用三角形面積公式即可得解．
（2）由三角函數恒等變換的應用化簡可得S（θ）=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sin（2θ+$\frac{π}{6}$）-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，利用正弦函數的圖象和性質可求S（θ）的最大值及此時θ的值．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）∵CP∥OB，
∴∠CPO=∠POB=$\frac{π}{3}$-θ，
在△POC中，由正弦定理得：$\frac{OP}{sin∠PCO}$=$\frac{CP}{sinθ}$，即$\frac{2}{sin\frac{2π}{3}}$=$\frac{CP}{sinθ}$，
∴CP=$\frac{4}{\sqrt{3}}$sinθ，
又∵$\frac{OC}{sin（\frac{π}{3}-θ）}$=$\frac{OP}{sin\frac{2π}{3}}$，
∴OC=$\frac{4}{\sqrt{3}}$sin（$\frac{π}{3}$-θ）．----------4分
于是S（θ）=$\frac{1}{2}$CP•OC•$\frac{2π}{3}$=$\frac{1}{2}×$$\frac{4}{\sqrt{3}}$sinθ×$\frac{4}{\sqrt{3}}$sin（$\frac{π}{3}$-θ）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{4}{\sqrt{3}}$sinθ•sin（$\frac{π}{3}$-θ），-----------------------------------------------------------6分
（2）由（1）知S（θ）=$\frac{4}{\sqrt{3}}$sinθ•sin（$\frac{π}{3}$-θ）
=$\frac{4}{\sqrt{3}}$sinθ•（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosθ-$\frac{1}{2}$sinθ）
=2sinθcosθ-$\frac{2}{\sqrt{3}}$sin²θ
=sin2θ+$\frac{\sqrt{3}}{3}$cos2θ-$\frac{\sqrt{3}}{3}$
=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sin（2θ+$\frac{π}{6}$）-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴θ=$\frac{π}{6}$時，S（θ）取得最大值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．---------------------------------12分．

點評 本題主要考查了正弦定理，三角形面積公式，三角函數恒等變換的應用，正弦函數的圖象和性質在解三角形中的應用，考查了數形結合思想和轉化思想，屬于中檔題．