Question

請(qǐng)您設(shè)計(jì)一個(gè)帳篷.它下部的形狀是高為1 m的正六棱柱，上部的形狀是側(cè)棱長(zhǎng)為3 m的正六棱錐（如下圖所示）.試問(wèn)當(dāng)帳篷的頂點(diǎn)O到底面中心O₁的距離為多少時(shí)，帳篷的體積最大？

Answer 1

思路分析：本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最大值和最小值的基礎(chǔ)知識(shí)，以及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力.求函數(shù)最值的基本方法,如：二次函數(shù)法、均值不等式法、求導(dǎo)法等，是近年高考的熱點(diǎn).

解：設(shè)OO₁為x m,則由題設(shè)可得正六棱錐底面邊長(zhǎng)為

( 單位：m),

于是底面正六邊形的面積為（單位：m²）:

S=6××()²·sin60°=6××（）²=(8+2x-x²).

帳篷的體積為（單位：m³）:V(x)=(8+2x-x²)［(x-1)+1］=(16+12x-x³).

求導(dǎo)數(shù)，得V′(x)=(12-3x²).

令V′(x)=0,解得x=-2(不合題意，舍去),或x=2.

當(dāng)1＜x＜2時(shí)，V′(x)＞0,V(x))為增函數(shù)；當(dāng)2＜x＜4時(shí)，V′(x)＜0,V(x)為減函數(shù).

所以當(dāng)x=2時(shí),V(x)最大.

答:當(dāng)OO₁為2 m時(shí)，帳篷的體積最大.