Question

（18）請(qǐng)您設(shè)計(jì)一個(gè)帳篷。它下部的形狀是高為1m的正六棱柱，上部的形狀是側(cè)棱長為3m的正六棱錐（如下圖所示）。試問當(dāng)帳篷的頂點(diǎn)O到底面中心O₁的距離為多少時(shí)，帳篷的體積最大？

Answer 1

本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最大值和最小值的基礎(chǔ)知識(shí)，以及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力.

解：設(shè)OO₁為xm，則1＜x＜4.

由題設(shè)可得正六棱錐底面邊長為（單位：m）

于是底面正六邊形的面積為（單位：m²）

 

 

 

 

 

帳篷的體積為（單位：m³）

V（x）=

求導(dǎo)數(shù)，得V′（x）=

令V′（x）=0，解得x=-2（不合題意，舍去），x=2.

當(dāng)1＜x＜2時(shí)，V′（x）＞0，V（x）為增函數(shù);

當(dāng)2＜x＜4時(shí)，V′（x）＜0，V（x）為減函數(shù).

所以當(dāng)x=2時(shí)，V（x）最大.

答：當(dāng)OO₁為2m時(shí)，帳篷的體積最大.