Question

10．設x，y，z∈R⁺，$a=x+\frac{1}{y}，b=y+\frac{1}{z}，c=z+\frac{1}{x}$，則a，b，c三數（　　）

• A． 都小于2
• B． 都大于2
• C． 至少有一個不大于2
• D． 至少有一個不小于2

Answer 1

分析 將三個式子相加，構造出均值不等式的形式，由均值不等式可得a+b+c≥6，從而推出a，b，c的范圍．

解答 解：∵a+b+c=x+$\frac{1}{y}$+y+$\frac{1}{z}$+z+$\frac{1}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{1}{x}}$+2$\sqrt{y•\frac{1}{y}}$+2$\sqrt{z•\frac{1}{z}}$=6，當且僅當x=y=z=1時取等號
∴a，b，c至少有一個不小于2．
故選D．

點評 本題考查了基本不等式的性質、反證法、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．