Question

已知函數f（x）=cos⁴x+2sinxcosx-sin⁴x．
（1）求f（x）的單調遞增區間；
（2）設x∈[-

π

4

，

π

6

]，求f（x-

π

8

）的最大值和最小值．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數,三角函數的最值

專題：計算題,三角函數的求值,三角函數的圖像與性質

分析：（1）運用二倍角的正弦和余弦公式及兩角和的正弦公式化簡f（x），再由正弦函數的增區間解不等式即可得到所求區間；
（2）化簡f（x-

π

8

），由x的范圍求得2x的范圍，再由正弦函數的單調性，即可得到最小值和最大值．

解答： 解：（1）f（x）=cos⁴x+2sinxcosx-sin⁴x
=sin2x+（cos²x-sin²x）（cos²x+sin²x）
=sin2x+cos2x=

2

sin（2x+

π

4

），
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
解得，kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

，k∈Z，
則f（x）的單調遞增區間為[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

]，k∈Z；
（2）f（x-

π

8

）=

2

sin[2（x-

π

8

）+

π

4

]=

2

sin2x，
由x∈[-

π

4

，

π

6

]，則2x∈[-

π

2

，

π

3

]，
sin2x∈[-1，

3

2

]，
當x=

π

6

時，f（x-

π

8

）取得最大值

6

2

；
當x=-

π

4

時，f（x-

π

8

）取得最小值-

2

．

點評：本題考查三角函數的化簡和求值，考查二倍角公式和兩角和的正弦公式的運用，考查正弦函數的單調性和值域，考查運算能力，屬于中檔題．