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已知函數
(1)求函數y=f(x)的單調區間;
(2)若函數y=f(x)的圖象與直線y=1恰有兩個交點,求a的取值范圍.
【答案】分析:(1)對函數f(x)求導,根據導數大于0時原函數單調增,導數小于0時原函數單調減可得到答案.
(2)求出函數的極值點,根據圖象可得答案.
解答:解:(1)因為f'(x)=x3+ax2-2a2x=x(x+2a)(x-a)
令f'(x)=0得x1=-2a,x2=0,x3=a
由a>0時,f'(x)在f'(x)=0根的左右的符號如下表所示

所以f(x)的遞增區間為(-2a,0)與(a,+∞)f(x)的遞減區間為(-∞,-2a)與(0,a)
(2)由(1)得到
f(x)極大值=f(0)=a4
要使f(x)的圖象與直線y=1恰有兩個交點,如圖示

故只要或a4<1,
或0<a<1.
點評:本題主要考查函數的單調性與其導函數正負之間的關系,即當導數大于0時原函數單調遞增,當導函數小于0時原函數單調遞減.
練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<
π
2
)的圖象和y軸交于(0,1)且y軸右側的第一個最大值、最小值點分別為P(x0,2)和Q(x0+3π,-2).
(1)求函數y=f(x)的解析式及x0
(2)求函數y=f(x)的單調遞減區間;
(3)如果將y=f(x)圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的
1
3
(縱坐標不變),然后再將所得圖象沿x軸負方向平移
π
3
個單位,最后將y=f(x)圖象上所有點的縱坐標縮短到原來的
1
2
(橫坐標不變)得到函數y=g(x)的圖象,寫出函數y=g(x)的解析式并給出y=|g(x)|的對稱軸方程.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=Asin(3x+φ) ( A>0,x∈(-∞,+∞),0<φ<π ) 在x=
π
12
時取得最大值4.
(1)求函數f(x)的最小正周期及解析式;
(2)求函數f(x)的單調增區間;
(3)求函數f(x)在[0,
π
3
]
上的值域.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數 (1)求函數在區間[1,]上的最大值、最小值;

(2)求證:在區間(1,)上,函數圖象在函數圖象的下方;

(3)設函數,求證:。(

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科目:高中數學 來源:2008-2009學年湖北省仙桃一中高三(上)第二次段考數學試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

已知函數
(1)求函數f(x)的最小正周期和最小值;
(2)在給出的直角坐標系中,用描點法畫出函數y=f(x)在區間[0,π]上的圖象.

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科目:高中數學 來源:2011-2012學年山東省棗莊市高三上學期期末檢測理科數學 題型:解答題

(本題滿分12分)

已知函數

(1)求函數的極值點;

(2)若直線過點(0,—1),并且與曲線相切,求直線的方程;

(3)設函數,其中,求函數上的最小值.(其中e為自然對數的底數)

 

 

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