Question

已知函數f（x）=Asin（3x+φ） （ A＞0，x∈（-∞，+∞），0＜φ＜π ） 在x=

π

12

時取得最大值4．
（1）求函數f（x）的最小正周期及解析式；
（2）求函數f（x）的單調增區間；
（3）求函數f（x）在[0，

π

3

]上的值域．

Answer 1

分析：（1）根據y=Asin（ωx+∅）的最小正周期的求法求得此函數的最小正周期．由函數的最大值求A，根據函數在x=

π

12

時取得最大值4，求得φ，從而得到函數的解析式．
（2）令2kπ-

π

2

≤3x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范圍，即可到函數f（x）的單調增區間．
（3）根據x∈[0，

π

3

]，結合正弦函數的定義域和值域，求得函數f（x）在[0，

π

3

]上的值域．

解答：解：（1）∵函數f（x）=Asin（3x+φ），故函數的最小正周期為T=

2π

3

．
由函數的最大值為4可得A=4，
由函數在x=

π

12

時取得最大值4可得 4sin（3×

π

12

+φ）=4，故

π

4

+φ=2kπ+

π

2

，k∈z．
結合0＜φ＜π，可得 φ=

π

4

．
綜上，函數f（x）=4sin（3x+

π

4

）．
（2）令2kπ-

π

2

≤3x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得≤

2kπ

3

-

π

4

≤x≤

2kπ

3

+

π

12

，
故函數f（x）的單調增區間為[

2kπ

3

-

π

4

，

2kπ

3

+

π

12

]，k∈z．
（3）∵x∈[0，

π

3

]，∴3x+

π

4

∈[

π

4

，

5π

4

]，∴sin（3x+

π

4

）∈[-

2

2

，1]，
故4sin（3x+

π

4

）∈[-2

2

，4]．
故函數f（x）在[0，

π

3

]上的值域為[-2

2

，4]．

點評：本題主要考查由函數y=Asin（ωx+∅）的部分圖象求解析式，函數y=Asin（ωx+∅）的最小正周期、單調性、定義域和值域，屬于中檔題．