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已知函數f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<
π
2
)的圖象和y軸交于(0,1)且y軸右側的第一個最大值、最小值點分別為P(x0,2)和Q(x0+3π,-2).
(1)求函數y=f(x)的解析式及x0
(2)求函數y=f(x)的單調遞減區間;
(3)如果將y=f(x)圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的
1
3
(縱坐標不變),然后再將所得圖象沿x軸負方向平移
π
3
個單位,最后將y=f(x)圖象上所有點的縱坐標縮短到原來的
1
2
(橫坐標不變)得到函數y=g(x)的圖象,寫出函數y=g(x)的解析式并給出y=|g(x)|的對稱軸方程.
分析:(1)由y軸右側的第一個最大值、最小值點分別為P(x0,2)和Q(x0+3π,-2)可得其周期,振幅.從求得A=2,ω=
1
3
,再由令圖象和y軸交于(0,1)求得?從而和到函數解析式.
(2)由正弦函數的單調區間,則有
π
2
+2kπ≤
1
3
x+
π
6
2
+2kπ(k∈Z)
解得.
(3)據題意,按照如下思路:y=2sin(
1
3
x+
π
6
)?y=2sin(x+
π
6
)?y=2sin(x+
π
2
)?g(x)=sin(x+
π
2
).
解答:解:(1)由y軸右側的第一個最大值、最小值點分別為P(x0,2)和Q(x0+3π,-2).
T=6π,A=2,ω=
1
3
(4分)
令x=0,則1=2sin?
∵|?|<
π
2

∴?=
π
6
(5分)
∴函數式為y=2sin(
1
3
x+
π
6

令y=2,則x0=π(6分)
(2)
π
2
+2kπ≤
1
3
x+
π
6
2
+2kπ(k∈Z)
(10分)
π+6kπ≤x≤4π+2kπ(k∈Z)
∴函數y=f(x)的單調遞減區間為[π+6kπ,4π+6kπ](k∈Z)(11分)
(3)由題意得:y=2sin(
1
3
x+
π
6
)?y=2sin(x+
π
6
)?y=2sin(x+
π
2
)?g(x)=sin(x+
π
2
)(14分)
y=|g(x)|的對稱軸方程為x=kπ(k∈Z)(16分)
點評:本題主要考查形如:f(x)=Asin(ωx+φ)中各參數的意義及其單調區間的求法和圖象的變換.
練習冊系列答案
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已知函數f(x)=
a-x2
x
+lnx  (a∈R , x∈[
1
2
 , 2])

(1)當a∈[-2,
1
4
)
時,求f(x)的最大值;
(2)設g(x)=[f(x)-lnx]•x2,k是g(x)圖象上不同兩點的連線的斜率,否存在實數a,使得k≤1恒成立?若存在,求a的取值范圍;若不存在,請說明理由.

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34
的解集為
(-∞,-2)
(-∞,-2)

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2x
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