Question

16．已知數列{a_n}的前n項和為S_n=n²+2n，n∈N*，令b_n=$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$，則{b_n} 的前n項和T_n$\frac{n}{3（2n+3）}$．

Answer 1

分析 由題意易得a_n=2n+1（n∈N），進而可得b_n=$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n+1）（2n+3}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+3}$），由裂項相消法可得結果

解答 解：∵數列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=n²+2n，
∴n=1時，a₁=3；
n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2n+1，
∴a_n=2n+1（n∈N^*），
∴b_n=$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n+1）（2n+3）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+3}$），
T_n=b₁+b₂+…b_n=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+3}$）=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{2n+3}$）=$\frac{n}{3（2n+3）}$，
故答案為：$\frac{n}{3（2n+3）}$．

點評 本題考查等差數列的前n項和與通項公式的關系，涉及裂項相消法求數列的和，屬中檔題．