Question

設數列滿足：①；②所有項；③．設集合，將集合中的元素的最大值記為．換句話說，是數列中滿足不等式的所有項的項數的最大值．我們稱數列為數列的伴隨數列．例如，數列1,3,5的伴隨數列為1,1,2,2,3．

（1）若數列的伴隨數列為1,1,1,2,2,2,3，請寫出數列；

（2）設，求數列的伴隨數列的前100之和；

（3）若數列的前項和（其中常數），試求數列的伴隨數列前項和．

Answer 1

（1）1,4,7；（2）384；（3）

【解析】

試題分析：（1）本題解題的關鍵是抓住新定義中“是數列中，滿足不等式的所有項的項數的最大值”，正確理解題中新定義的內容，根據伴隨數列的定義直接寫出數列1,4,7；（2）對于這類問題，我們要首先應弄清楚問題的本質，然后根據等差數列、等比數列的性質以及解決數列問題時的常用方法即可解決，根據伴隨數列的定義得，由對數的運算對分類討論求出伴隨數列的前100項的和；（3）數列是特殊的函數，以數列為背景是數列的綜合問題體現了在知識交匯點上命題的特點，由題意和與的關系，代入得，求出伴隨數列的各項，再對分類討論得.

試題解析：（1）由伴隨數列1,1,1,2,2,2,3及定義得

，故數列為1,4,7． 6分

（2）由，得

∴ 當時， 1分

當時， 1分

當時， 1分

當時， 1分

當時， 1分

∴ 1分

（3）∵ ∴ 1分

當時，

∴ 2分

由得：

因為使得成立的的最大值為，

所以 1分

當時：

1分

當時：

1分

當時：

1分

所以 1分

考點：1、新定義求數列；2、數列求和；3、數列的應用.