Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是菱形，，是棱的中點，.

（1）證明：平面；

（2）設是線段的中點，且平面，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）連接，交于點，連接，通過證明，證得平面.

（2）建立空間直角坐標系，通過平面和平面的法向量，計算出二面角的余弦值.

（1）如圖，連接，交于點，連接.

易知，所以.

由可得，

所以.

又平面，平面，所以平面.

（2）因為平面，所以，又是線段的中點，所以.

因為，故，均是等邊三角形.

連接，易知，.

如圖，以為原點，，，分別為軸，軸，軸的正方向，建立空間直角坐標系.

不妨設，則，，，，.

由，得，

所以的中點，所以，.

設平面的一個法向量為，則，即.

得方程組的一組解為，即.

又平面的一個法向量為，

所以.

所以二面角的余弦值為.