Question

【題目】已知函數．

（1）若在定義域內單調遞增，求實數的值；

（2）若在定義域內有唯一的零點，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）．（2）{或}

【解析】

（1）依題意知函數的定義域為，可得，對參數分類討論，并利用導數進行求解；

（2）由（1）知，當時，在上單調遞減，在上單調遞增，利用函數單調性結合零點存在定理求解，即可求得答案.

（1）依題意知函數的定義域為，

且.

若，則當時，，此時不符合題意.

若，記，則，

當時，，單調遞減，

當時，，單調遞增，

故有最小值

①若，即，的最小值為，

故（當且僅當時等號成立），此時單調遞增，符合題意.

②若，則，

當時，單調遞增，

又，

當時，，單調遞減，不符合題意.

③若，則，

當時，單調遞減.

又，

當時，，單調遞減，不符合題意.

綜上，若在定義域內單調遞增，實數的值為.

（2）由（1）知，當時，在上單調遞減，在上單調遞增，

，

有唯一的零點，符合題意；

當時，單調遞增，有唯一的零點，符合題意.

下面考慮且的情況.

由（1）知，，且，

下面證明：，

易得：，

設

令，解得：

令，解得：

則函數在上單調遞增，在上單調遞減

則函數在處取得最小值，

，則

即

設，

令，解得

，解得

則函數在上單調遞增，在上單調遞減

則在處取得最大值，

，

即，即

則

即可證得成立，

證明：完畢

，

于是有（因為），

下面證明成立

設

在同一坐標系畫出：和圖象

由圖象可得：時，

,單調增函數，

成立，

證明成立完畢

，

故存在，，使得.

又，

或.

若，即，

由（1）令

在同一坐標系畫出，

，單調增函數，

，

，

從而，，，可知有兩個零點.

若，即，

注意到，，，

可知有兩個零點.

故實數的取值范圍是或.