Question

【題目】已知函數，.

(Ⅰ)當時，求函數在區間上的最值；

(Ⅱ)若，是函數的兩個極值點，且，求證：.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) 最小值為，最大值為； (Ⅱ)證明見解析。

【解析】

（Ⅰ）求出函數f（x）的定義域，運用導函數判斷函數的單調性，求解函數的最值即可．

（Ⅱ）x1，x2是函數的兩個極值點，所以（x1）＝（x2）＝0．令通過及構造函數，利用函數的導數判斷函數的單調性，推出,所以，即可證明結論．

(Ⅰ)當時，，函數的定義域為，

所以，

當時，，函數單調遞減；

當時，，函數單調遞增.

所以函數在區間上的最小值為，

又，

顯然

所以函數在區間上的最小值為，最大值為.

(Ⅱ)因為

所以，因為函數有兩個不同的極值點，

所以有兩個不同的零點.

因此，即 有兩個不同的實數根,

設，則,

當時，，函數單調遞增；

當，，函數單調遞減；

所以函數的最大值為 。

所以當直線與函數圖像有兩個不同的交點時，，且

要證，只要證，

易知函數在上單調遞增，

所以只需證,而，所以

即證，

記，則恒成立，

所以函數在上單調遞減，所以當時

所以，因此.