Question

【題目】如圖，已知四棱錐，側面是正三角形，底面為邊長2的菱形，，.

（1）設平面平面，求證：；

（2）求多面體的體積；

（3）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）.

【解析】

（1）由，證得平面，再由線面平行的性質，即可得到；

（2）取中點，連結，推得，，得到平面，

再由多面體的體積，結合體積公式，即可求解；

（3）由，設的中點為，連結，推得，從而得到就是二面角的平面角，由此可求得二面角的余弦值.

證明：（1）因為平面平面，

所以平面，

又平面，平面平面，所以；

（2）取中點，連結，由得，

同理，又因為，所以平面，

在中，，所以，

所以多面體的體積

；

（3）由題意知，底面為邊長2的菱形，，

所以，又，所以，

設的中點為，連結，

由側面是正三角形知，，所以，

因此就是二面角的平面角，

在中，，，

由余弦定理得，

二面角的余弦值為.