Question

【題目】如圖，已知圓柱內有一個三棱錐，為圓柱的一條母線，，為下底面圓的直徑，．

（Ⅰ）在圓柱的上底面圓內是否存在一點，使得平面？證明你的結論．

（Ⅱ）設點為棱的中點，，求四棱錐體積的最大值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）存在，為上底面圓的圓心，證明見解析；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）畫出圖形，取上底面圓的圓心為，連接，，，，先證，再證平面即可；

（Ⅱ），然后利用不等式求出最值即可.

（Ⅰ）當點為上底面圓的圓心時，平面．

如圖，取上底面圓的圓心為，連接，，，，

則，．

所以四邊形為平行四邊形，

所以，所以．

又，所以四邊形為平行四邊形，

所以．

因為平面，平面，

所以平面．

故點為上底面圓的圓心時，平面；

（Ⅱ）在底面圓中，由得．

，

當且僅當時等號成立，所以四棱錐體積的最大值為．