Question

4．若雙曲線C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的漸近線與圓x²+y²-4y+3=0相切，則該雙曲線C的離心率為（　　）

• A． $2\sqrt{3}$
• B． 2
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$

Answer 1

分析 由于雙曲線的漸近線與x²+y²-4y+3=0相切，可得圓心（2，0）到漸近線的距離d=r，利用點(diǎn)到直線的距離公式即可得出．

解答 解：取雙曲線C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）漸近線bx-ay=0．
∵雙曲線C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）漸近線與x²+y²-4y+3=0相切，
∴（x-2）²+y²=1的圓心（2，0）到漸近線的距離d=r，
∴$\frac{2b}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=1，化為2b=c，
兩邊平方得c²=4b²=4（c²-a²），化為3c²=4a²．
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了雙曲線的漸近線及其離心率、點(diǎn)到直線的距離公式、直線與圓相切的性質(zhì)扥個(gè)基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于中檔題．