Question

【題目】過橢圓的右焦點F作兩條相互垂直的直線分別交橢圓于A，B，C，D四點，則的值為（ ）

A. B. C. 1 D.

Answer 1

【答案】D

【解析】

當直線AB的斜率不存在時，AB：x=1，推導出=；當直線AB的斜率存在時，設AB：y=k（x﹣1）（k≠0），CD：y=﹣（x﹣1）．分別利用弦長公式求出|AB|、|CD|的長度，由此能推導出=為定值．

由橢圓，得橢圓的右焦點為F（1，0），

當直線AB的斜率不存在時，AB：x=1，

則CD：y=0．此時|AB|=3，|CD|=4，

則=；

當直線AB的斜率存在時，

設AB：y=k（x﹣1）（k≠0），則 CD：y=﹣（x﹣1）．

又設點A（x1，y1），B（x2，y2）．

聯(lián)立方程組，

消去y并化簡得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，

∴，

∴|AB|===，

由題知，直線CD的斜率為﹣，

同理可得|CD|=．

∴=為定值．

故選：D．