Question

【題目】（1）雙曲線的離心率為_____________

（2）點P是橢圓上一點，分別是橢圓的左、右焦點，若，則的大小______ ．

（3）如果是拋物線y2=4x上的點，它們的橫坐標依次為，F是拋物線的焦點，若則_______________．

（4）若x,y滿足約束條件,則z=x2+y2的最大值為______________．

Answer 1

【答案】 25

【解析】

（1）由雙曲線的a和c，利用離心率公式求解即可；

（2）設|PF1|=m，|PF2|=n，由橢圓的定義及題干條件可得m+n和mn，再利用余弦定理求角即可；

（3）由拋物線的焦半徑定義可知|P1F|+|P2F|+…|P8F|=（x1+1）+（x2+1）+…+（x8+1），代入條件即可得解；

（4）根據不等式組畫出可行域，再由x2+y2是點（x，y）到原點的距離的平方，數形結合求解即可.

（1）由雙曲線得，

所以離心率,故答案為.

（2）橢圓，

可得2a=8，設|PF1|=m，|PF2|=n，可得 ，

化簡可得：∴∠F1PF2=60°，故答案為60°.

（3）∵拋物線y2=4x的焦點為F（1，0），準線為x=-1，

∴根據拋物線的定義，Pi（i=1，2，3，…，8）到焦點的距離等于Pi到準線的距離，即|PiF|=xi+1，

可得|P1F|+|P2F|+…|P8F|=（x1+1）+（x2+1）+…+（x8+1）

=（x1+x2+…+x8）+8，

∵x1+x2+…+x8=10，∴|P1F|+|P2F|+…|P8F|=10+8=18．

故答案為18．

（4）如圖，作出可行域，

x2+y2是點（x，y）到原點的距離的平方，

故最大值為點A（4，3）到原點的距離的平方，即|AO|2=25，故答案為25．