Question

【題目】已知數列{an}前n項和為Sn ， 滿足Sn=2an﹣2n（n∈N*）．
（1）證明：{an+2}是等比數列，并求{an}的通項公式；
（2）數列{bn}滿足bn=log2（an+2），Tn為數列{ }的前n項和，若Tn＜a對正整數a都成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）證明：由題設Sn=2an﹣2n（n∈N*），

Sn﹣1=2an﹣1﹣2（n﹣1），n≥2，

兩式相減得an=2an﹣1+2，

即an+2=2（an﹣1+2），

又a1+2=4，

所以{an+2}是以4為首項，2為公比的等比數列，

an+2=42n﹣1，即an=2n+1﹣2（n≥2）

又a1=2，所以an=2n+1﹣2（n∈N*）；

（2）解：因為bn=log2（an+2）=log22n+1=n+1，

即有 = = ﹣ ，

故Tn= ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ = ﹣ ＜ ，

依題意得：a≥

【解析】（1）運用數列的通項和前n項和的關系，變形整理即可得到{an+2}是等比數列，由等比數列的通項公式，即可求得；（2）運用對數的運算性質，化簡bn ， 再由裂項相消求和，即可得到Tn ， 運用不等式恒成立思想即可得到a的范圍．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解數列的前n項和的相關知識，掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系，以及對數列的通項公式的理解，了解如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式．