Question

已知0＜a＜1，0＜b＜1，0＜c＜1。求證：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a中至少有一個不大于。

Answer 1

見解析

解析:

解法一：假設（1－a）b，（1－b）c，（1－c）a都大于，

則（1－a）b·（1－b）c·（1－c）a＞ 

∵0＜a＜1，

∴a＞0，1－a＞0。

∴0＜a(1－a)≤[]²= 

同理0＜b(1－b)≤，0＜c(1－c)≤，

三式相乘得：0＜(1－a)b·(1－b)c·(1－c)a≤ ②

①與②矛盾，故假設不成立

∴（1－a）b，（1－b）c，（1－c）a中至少有一個不大于[來源:學+科+網]

解法二：假設：假設（1－a）b，（1－b）c，（1－c）a都大于，

∵0＜a＜1，0＜b＜1，

∴（1－a）+b≥＞=1

同理（1－b）+c＞1，（1－c）+a＞1

三式相加得：（1－a）+b+（1－b）+c+（1－c）+a＞3

即3＞3，不等式不成立，故假設不成立。