Question

已知0＜a＜1，0＜b＜1，則函數f（x）=x²log_ab+2xlog_ba+8的圖象恒在x軸上方的概率為（　　）

• A、

  1

  4

• B、

  3

  4

• C、

  1

  3

• D、

  2

  3

Answer 1

分析：欲求圖象恒在x軸上方的概率，則可建立關于a，b的直角坐標系，畫出關于a和b的平面區域，再根據幾何概型概率公式結合定積分求面積的方法易求解．

解答：解：∵函數圖象恒在x軸上方，則4log_b²a-32log_ab＜0，
∵0＜a＜1，0＜b＜1，∴log_ba＞0，log_ab＞0，
∴lo

g

3 a

b＞

1

8

，∴logab＞

1

2

，即b＜a

1

2

．
則建立關于a，b的直角坐標系，畫出關于a和b的平面區域，如圖．
此時，可知此題求解的概率類型為關于面積的幾何概型，
由圖可知基本事件空間所對應的幾何度量S（Ω）=1，滿足圖象在x軸上方的事件A所對應的幾何度量S(A)=∫_1a

1

2

da=

2

3

．所以P(A)=

S(A)

S(Ω)

=

2

3

．
故選D．

點評：本題綜合考查了對數的性質，幾何概型，及定積分在求面積中的應用，是一道綜合性比較強的題目，考生容易在建立直角坐標系中出錯，可多參考本題的做法．