【題目】已知函數
.
（1）當
時，求
的極值；
（2）設
，對任意
都有
成立，求實數
的取值范圍.
【答案】（1）
的極大值為
，無極小值；（2）
.
【解析】
（1）把
代入，然后求出函數的定義域，對函數求導，結合導數與單調性的關系可求函數的極值，
（2）令
，根據已知可轉化為
，結合導數進行求解．
（1）當時，
，所以函數的定義域為
，
所以
，且
，
令
，
所以當
時，
，
所以
.
又
，
所以當
時，
，
所以
在
上單調遞減，故
.
同理當時，
；
當時，
，
所以在
是單調遞增，在單調遞減，
所以當
時，的極大值為
，無極小值.
（2）令，
因為對任意
都有
成立，
所以
.
因為
，
所以
.
令
，即
，解得
；
令
，即
，解得
.
所以
在
上單調遞減，在
上單調遞增，
所以
.
因為
，
所以
，當
時
，
令
，即
，解得；令
，即
，解得.
所以
在上單調遞增，在上單調遞減，
所以
，
所以
，
所以
，即實數
的取值范圍為.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為了拓展城市的旅游業，實現不同市區間的物資交流，政府決定在
市與
市之間建一條直達公路，中間設有至少8個的偶數個十字路口，記為
，現規劃在每個路口處種植一顆楊樹或者木棉樹，且種植每種樹木的概率均為
.
（1）現征求兩市居民的種植意見，看看哪一種植物更受歡迎，得到的數據如下所示：
A市居民 | B市居民 | |
喜歡楊樹 | 300 | 200 |
喜歡木棉樹 | 250 | 250 |
是否有
的把握認為喜歡樹木的種類與居民所在的城市具有相關性；
（2）若從所有的路口中隨機抽取4個路口，恰有
個路口種植楊樹，求的分布列以及數學期望；
（3）在所有的路口種植完成后，選取3個種植同一種樹的路口，記總的選取方法數為
，求證：
.
附：
| 0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】下列命題中：①若“
”是“
”的充要條件；
②若“
，
”，則實數
的取值范圍是
；
③已知平面
、
、
，直線
、
，若
，
，
，
，則
；
④函數
的所有零點存在區間是
.
其中正確的個數是（ ）
A.
B.
C.
D.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】一項針對某一線城市30～50歲都市中年人的消費水平進行調查，現抽查500名（200名女性，300名男性）此城市中年人，最近一年內購買六類高價商品（電子產品、服裝、手表、運動與戶外用品、珠寶首飾、箱包）的金額（萬元）的頻數分布表如下：
（1）將頻率視為概率，估計該城市中年人購買六類高價商品的金額不低于5000元的概率.
（2）把購買六類高價商品的金額不低于5000元的中年人稱為“高收入人群”，根據已知條件完成2
2列聯表，并據此判斷能否有95%的把握認為“高收入人群”與性別有關？
參考公式：
，其中
參考附表：
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】現定義：設
是非零實常數，若對于任意的
，都有
，則稱函數
為“關于的偶型函數”
（1）請以三角函數為例，寫出一個“關于2的偶型函數”的解析式，并給予證明
（2）設定義域為的“關于的偶型函數”在區間
上單調遞增，求證在區間
上單調遞減
（3）設定義域為
的“關于
的偶型函數”是奇函數，若
，請猜測
的值，并用數學歸納法證明你的結論
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