Question

【題目】函數f(x)=ex+asinx，x∈(－π，+∞)，下列說法正確的是（ ）

A.當a=1時，f(x)在(0，f(0))處的切線方程為2x－y+1=0

B.當a=1時，f(x)存在唯一極小值點x0且－1＜f(x0)＜0

C.對任意a＞0，f(x)在(－π，+∞)上均存在零點

D.存在a＜0，f(x)在(－π，+∞)上有且只有一個零點

Answer 1

【答案】ABD

【解析】

逐一驗證選項，選項A，通過切點求切線，再通過點斜式寫出切線方程，選項B 通過導數求出函數極值并判斷極值范圍，選項C、D，通過構造函數，將零點問題轉化判斷函數與直線y＝a 的交點問題．

選項A，當時，，，

所以，故切點為，，

所以切線斜率，

故直線方程為：，即切線方程為：， 選項A正確.

選項B，當時，，，

恒成立，所以單調遞增，

又,

,所以，即，所以

所以存在，使得，即

則在上，，在上，，

所以在上，單調遞減，在上，單調遞增.

所以存在唯一的極小值點.

,則，，所以B正確.

對于選項C、D，，

令，即 ，所以, 則令,

,令,得

由函數的圖像性質可知:

時，，單調遞減.

時，，單調遞增.

所以時，取得極小值，

即當時取得極小值，

又,即

又因為在上單調遞減，所以

所以時，取得極小值，

即當時取得極大值，

又，即

所以

當時，

所以當，即時，f(x)在(－π，+∞)上無零點，所以C不正確.

當，即時，與的圖象只有一個交點

即存在a＜0，f(x)在(－π，+∞)上有且只有一個零點，故D正確.

故選：ABD
．