Question

已知定點、，動點，且滿足、、

成等差數列.

（1）求點的軌跡的方程；

（2）若曲線的方程為，過點的直線與曲線相切，

求直線被曲線截得的線段長的最小值.

 

Answer 1

（1）：（2）.

【解析】

試題分析：（1）利用題中的條件得到橢圓的定義，求出橢圓的實軸長與焦距，然后利用、、之間的關

系求出的值，從而確定點的軌跡的方程；（2）先設直線的方程為，利用直線與圓

相切，結合確定和之間的等量關系，然后聯立直線與橢圓的方程，求出交點的坐標，利用兩點

間的距離公式求出弦長的表達式，利用換元法將弦長表達式進行化簡，并利用函數單調性求出弦長的最小

值.

（1）由、， ，

根據橢圓定義知的軌跡為以、為焦點的橢圓，

其長軸，焦距，短半軸，故的方程為.

（2）過點與軸垂直的直線不與圓相切，故可設:，

由直線與曲線相切得，化簡得，，

由，解得，

聯立，消去整理得，

直線被曲線截得的線段一端點為，設另一端點為，

解方程可得，

有，

令，則，，

考查函數的性質知在區間上是增函數，

所以時，取最大值，從而.

考點：1.橢圓的定義與方程；2.直線與圓的位置關系；3.直線與橢圓的位置關系；4.兩點間的距離