Question

14．已知函數f（x）=2a^x+x²-2xlna（a＞0，a≠1）
（1）求函數f（x）的最小值；
（2）若存在x₁，x₂∈[0，1]，使得|f（x₁）-f（x₂）|≥2e-3（e是自然對數的底數），求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求函數f（x）的導數，根據導函數f'（x）對a進行討論，求出函數f（x）的最小值；
（2）f（x）的最大值減去f（x）的最小值大于或等于2e-3，
根據函數的單調性，求f（x）的最大值和最小值，建立關于a的不等式，從而求出a的取值范圍．

解答 解：（1）函數f（x）=2a^x+x²-2xlna（a＞0，a≠1），
∴f′（x）=2a^xlna+2x-2lna=2[x+（a^x-1）lna]；
當a＞1時，lna＞0，函數y=（a^x-1）lna在R上是單調增函數；
當0＜a＜1時，lna＜0，函數y=（a^x-1）lna在R上也是單調增函數；
又y=x在R上是單調增函數，所以f′（x）在R上是單調增函數；
令f′（x）=0，解得x=0；
則f′（x），f（x）隨x的變化情況如下表所示；

x	（-∞，0）	0	（0，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	減函數	極小值	增函數

所以函數f（x）的最小值為f（0）=2•a⁰+0-0=2；
（2）存在x₁，x₂∈[0，1]，使得|f（x₁）-f（x₂）|≥2e-3，
得x∈[0，1]時，f（x）_max-f（x）_min≥2e-3；
當x∈[0，1]時，f（x）的最小值是f（x）_min=f（0）=2，
f（x）的最大值是f（x）_max=f（1）=2a+1-2lna；
∴f（x）_max-f（x）_min=2a-1-2lna≥2e-3，
即a-lna≥e-1；
設g（a）=a-lna，則g′（a）=1-$\frac{1}{a}$，
當a＞1時，g′（a）＞0，g（a）單調遞增，得a-lna≥e-1，解得a≥e；
當0＜a＜1時，得$\frac{1}{a}$+lna≥e-1，解得0＜a≤$\frac{1}{e}$；
所以實數a的取值范圍是0＜a≤$\frac{1}{e}$或a≥e．

點評 本題考查了基本函數導數公式，導數的幾何意義，利用導數研究函數的單調性及利用導數求閉區間上函數的最值，屬于難題．