Question

6．已知在直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+4cosα}\\{y=2+4sinα}\end{array}\right.$（α為參數），直線l過定點P（3，5），傾斜角為$\frac{π}{3}$，以原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系．
（1）試寫出曲線C的極坐標方程；
（2）設直線l與曲線C交于A、B兩點，求|PA|•|PB|的值．

Answer 1

分析 （1）曲線C的參數方程消去參數α，得曲線C的普通方程為x²+y²-2x-4y-11=0，再由ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ，能求出曲線C的極坐標方程．
（2）曲線C是以C（1，2）為圓心，以r=4為半徑的圓，|PC|=$\sqrt{13}$＜4=r，從而P（3，5）在曲線C內，求出直線l的參數方程 代入曲線C：x²+y²-2x-4y-11=0，由此能求出|PA|•|PB|．

解答 解：（1）∵曲線C的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+4cosα}\\{y=2+4sinα}\end{array}\right.$（α為參數），
∴消去參數α，得曲線C的普通方程為（x-1）²+（y-2）²=4²，
即x²+y²-2x-4y-11=0，
∵ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ，
∴曲線C的極坐標方程為ρ²-2ρcosθ-4ρsinθ-11=0．
（2）曲線C是以C（1，2）為圓心，以r=4為半徑的圓，
∵P（3，5），∴|PC|=$\sqrt{（3-1）^{2}+（5-2）^{2}}$=$\sqrt{13}$＜4=r，
∴P（3，5）在曲線C內，
∵直線l過定點P（3，5），傾斜角為$\frac{π}{3}$，
∴設直線l的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=3+\frac{1}{2}t}\\{y=5+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$，（t為參數），
把直線l的參數方程代入曲線C：x²+y²-2x-4y-11=0，
得${t}^{2}+（2+3\sqrt{3}）t-3=0$，
該方程有兩個實根t₁，t₂，則|PA|•|PB|=|t₁t₂|=3．

點評 本題考查曲線的極坐標方程的求法，考查兩線段的乘積的求法，考查直角坐標方程、極坐標方程的互化等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想，是中檔題．