Question

【題目】已知函數.

(I) 求極大值；

(II) 求證：，其中, ．

(III)若方程有兩個不同的根, 求證:

Answer 1

【答案】（Ⅰ）極大值是(II)見解析(III)見解析

【解析】

（Ⅰ）對函數進行求導，讓導函數為零，求出根，列表，判斷極值情況，最后求出極大值；

(II) 法一：根據（Ⅰ）可以得到函數的最大值，結合求證的式子左右兩邊形式，能得到一個不等式， 然后累和，命題得證；

法二：有關正整數的命題，可以采用數學歸納法來證明。

(III)由（Ⅰ）可知，方程有兩個不同的零點,能得到 用分析法證明時，需要構造一個新函數，利用新函數的單調性，證明分析法需要證明的不等式成立。

解：（Ⅰ）, 解得

	遞增	極大值	遞減

極大值是

(II) 法一：，

由（Ⅰ）得：在處取得極大值1，且該極值是唯一的，

則，即，當且僅當時取“=”，

故當時，，

因此．

法二：下面用數學歸納法證明：，對恒成立．

（1）當時，左邊，右邊，

左邊右邊，結論成立；

（2）假設當時，結論成立，即，

當時，左邊

，

而 ，

，

由（Ⅰ）得：在處取得極大值1，且該極值是唯一的，

則，即，當且僅當時取“=”，

則對恒成立，即

成立

故當時，結論成立，

因此，綜合（1）（2）得，對恒成立

（III） 由（Ⅰ）知方程有兩個不同的零點,

則

分析法: 要證

令函數,

由得

在上遞增,

即成立, 由上知成立.