Question

13．在平面直角坐標系中，以坐標原點為極點，x軸的非負半軸為極軸，長度單位相同，建立極坐標系，已知圓A的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=1+2cosθ\\ y=-1+2sinθ\end{array}\right.$（其中θ為參數），圓B的極坐標方程為ρ=2sinθ．
（Ⅰ）分別寫出圓A與圓B的直角坐標方程；
（Ⅱ）判斷兩圓的位置關系，若兩圓相交，求其公共弦長．

Answer 1

分析 （Ⅰ）圓A的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=1+2cosθ\\ y=-1+2sinθ\end{array}\right.$（其中θ為參數），利用平方關系可得圓A的普通方程．圓B的極坐標方程為ρ=2sinθ，即ρ²=2ρsinθ，利用互化公式可得直角坐標方程．
（Ⅱ）利用兩圓的圓心距離與半徑的和差半徑即可判斷出兩圓相交．兩個圓的方程相減可得公共弦所在直線方程，利用弦長公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）圓A的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=1+2cosθ\\ y=-1+2sinθ\end{array}\right.$（其中θ為參數），利用平方關系可得圓A：（x-1）²+（y+1）²=4．可得圓心A（1，-1），半徑R=2．
圓B的極坐標方程為ρ=2sinθ，即ρ²=2ρsinθ，利用互化公式可得：圓B：x²+y²-2y=0，平方可得：x²+（y-1）²=1，可得圓心B（0，1），半徑r=1．
（Ⅱ）∵|AB|=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，而R-r=1，R+r=3，
$1＜\sqrt{5}$＜3，∴兩圓相交，
兩個圓的方程相減可得：x-2y+1=0．
∴其公共弦長=2$\sqrt{{2}^{2}-（\frac{1+2+1}{\sqrt{5}}）^{2}}$=$\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$．

點評 本題考查了參數方程化為普通方程、極坐標與直角坐標互化的公式、圓的標準方程、兩圓相交弦長、點到直線的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．