Question

3．直線$\sqrt{2}$ax+by=1與圓x²+y²=1相交于A、B兩點(diǎn)（其中a、b是正實(shí)數(shù)），且△AOB是直角三角形（O是坐標(biāo)原點(diǎn)），則$\frac{1}{ab}$的最小值為（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{2}$+1
• C． 2
• D． $\sqrt{2}$-1

Answer 1

分析 由直線$\sqrt{2}$ax+by=1（其中a，b為非零實(shí)數(shù)）與圓x²+y²=1相交于A，B兩點(diǎn)，且△AOB為直角三角形，可得|AB|=$\sqrt{2}$．圓心O（0，0）到直線$\sqrt{2}$ax+by=1的距離d=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，可得2a²+b²=2．然后利用基本不等式求最值．

解答 解：∵直線$\sqrt{2}$ax+by=1與圓x²+y²=1相交于A，B兩點(diǎn)，且△AOB為直角三角形，
∴|AB|=$\sqrt{2}$r=$\sqrt{2}$．
∴圓心O（0，0）到直線$\sqrt{2}$ax+by=1的距離d=$\frac{1}{\sqrt{2{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，化為2a²+b²=2．
則2=2a²+b²≥2$\sqrt{2}ab$，
∴$ab≤\frac{\sqrt{2}}{2}$，則$\frac{1}{ab}≥\sqrt{2}$．
∴$\frac{1}{ab}$的最小值為$\sqrt{2}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與圓相交的弦長問題、點(diǎn)到直線的距離公式、基本不等式的性質(zhì)，屬于中檔題．