Question

已知函數f（x）=log₉（9^x+1）+kx（k∈R）是偶函數
（Ⅰ）求實數k的值；
（Ⅱ）設g（x）=

1

2

x+m（m∈R），問是否存在實數m，使得函數f（x）的圖象恒在函數g（x）的圖象上方？若存在，求m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：函數恒成立問題,函數奇偶性的性質

專題：函數的性質及應用

分析：（Ⅰ）因為f（x）為偶函數，所以f（-x）=f（x）代入，求得k的值即可；
（Ⅱ）函數f（x）的圖象恒在函數g（x）的圖象上方，從而f（x）-g（x）=log₉（9^x+1）-x-m＞0恒成立，設F（x）=log₉（9^x+1）-x，求出函數F（x）的最小值，進而可求實數b的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）因為y=f（x）為偶函數，
所以?x∈R，f（-x）=f（-x），
即log₉（9^-x+1）-kx=log₉（9^x+1）+kx對于?x∈R恒成立．
即2kx=log₉（9^-x+1）-log₉（9^x+1）=log₉（

1+9x

9x

）-log₉（9^x+1）-x恒成立
∴（2k+1）x=0恒成立，
∵x不恒為零，
∴k=-

1

2

．
（Ⅱ）∵g（x）=

1

2

x+m，f（x）=log₉（9^x+1）-

1

2

x
∵函數f（x）的圖象恒在函數g（x）的圖象上方
∴f（x）-g（x）=log₉（9^x+1）-x-m＞0恒成立，
∴m＜log₉（9^x+1）-x恒成立，
設F（x）=log₉（9^x+1）-x=log₉（9^x+1）-log₉9^x=log₉（

1

9x

+1）
任取x₁、x₂∈R，且x₁＜x₂，則0＜9x1＜9x2，

1

9x1

＞

1

9x2

于是log₉（

1

9x1

+1）＞log₉（

1

9x2

+1）
，即F（x₁）＞F（x₂），
所以F（x）在（-∞，+∞）是單調減函數．
∵

1

9x

+1＞1，
∴F（x）=log₉（

1

9x

+1）＞0
∴m≤0
故m的取值范圍是（-∞，0]．

點評：本題重點考查函數的性質，考查函數與方程的關系，解題的關鍵是正確運用偶函數的定義，合理將問題進行等價轉化，屬于中檔題