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已知函數y=
1
2
cos2x+
3
2
sinxcosx+1
,x∈R.
(1)當函數y取得最大值時,求自變量x的集合;
(2)該函數的圖象可由y=sinx(x∈R)的圖象經過怎樣的平移和伸縮變換得到?
分析:(1)利用二倍角公式和兩角和的正弦函數化簡函數為y=
1
2
sin(2x+
π
6
)+
5
4
,借助正弦函數的最大值,求出函數y取得最大值時,自變量x的集合;
(2)由y=sinx(x∈R)的圖象,按照先φ,向左平移
π
6
,把得到的圖象上各點橫坐標縮短到原來的
1
2
倍(縱坐標不變),圖象上各點縱坐標縮短到原來的
1
2
倍(縱坐標不變),最后把得到的圖象向上平移
5
4
個單位長度,得到函數y=
1
2
sin(2x+
π
6
)+
5
4
的圖象;
解答:解:(1)y=
1
2
cos2x+
3
2
sinxcosx+1
=
1
4
(2cos2x-1)+
1
4
+
3
4
(2sinxcosx)+1
=
1
4
cos2x+
3
4
sin2x+
5
4
=
1
2
(cos2x•sin
π
6
+sin2x•cos
π
6
)+
5
4

=
1
2
sin(2x+
π
6
)+
5
4
(6分)
y取得最大值必須且只需
2x+
π
6
=
π
2
+2kπ,k∈Z,
即x=
π
6
+kπ,k∈Z.
所以當函數y取得最大值時,自變量x的集合為
{x|x=
π
6
+kπ,k∈Z}(8分)
(2)將函數y=sinx依次進行如下變換:
①把函數y=sinx的圖象向左平移
π
6
,得到函數y=sin(x+
π
6
)的圖象;
②把得到的圖象上各點橫坐標縮短到原來的
1
2
倍(縱坐標不變),得到函數y=sin(2x+
π
6
)的圖象;
③把得到的圖象上各點縱坐標縮短到原來的
1
2
倍(橫坐標不變),得到函數y=
1
2
sin(2x+
π
6
)的圖象;
④把得到的圖象向上平移
5
4
個單位長度,得到函數y=
1
2
sin(2x+
π
6
)+
5
4
的圖象;綜上得到函數y=
1
2
cos2x+
3
2
sinxcosx+1的圖象.(12分)
點評:本小題主要考查三角函數的圖象和性質,考查利用三角公式進行恒等變形的技能以及運算能力.注意函數圖象的變換的順序:→φ→ω→A→b的過程.
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π
3
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y=2sin(3x-
π
2
)
y=2sin(3x-
π
2
)

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3-4x+x2
+lg(
2+x
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)
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0
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