Question

13．平面α過正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的面對角線$AB_1^{\;}$，且平面α⊥平面C₁BD，平面α∩平面ADD₁A₁=AS，則∠A₁AS的正切值為（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{5}}}{5}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 推導出A₁C⊥BD，A₁C⊥BC₁，從而A₁C⊥平面C₁BD，以AA₁為側棱補作一個正方體AEFG-A₁PQS，使得側面AGRA₁與平面ADD₁A₁共面，連結AQ，則AQ∥CA₁，連結QB₁，交A₁R于S，則平面AQB₁就是平面α，且AS為所求作，由此能求出結果．

解答 解：正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BD⊥AC，BD⊥AA₁，
∵AC∩AA₁=A，∴BD⊥平面AA₁C，∴A₁C⊥BD，
同理，得A₁C⊥BC₁，
∵BD∩BC₁=B，∴A₁C⊥平面C₁BD，
如圖，以AA₁為側棱補作一個正方體AEFG-A₁PQS，
使得側面AGRA₁與平面ADD₁A₁共面，
連結AQ，則AQ∥CA₁，連結QB₁，交A₁R于S，則平面AQB₁就是平面α，且AS為所求作，
∵AQ∥CA₁，∴AQ⊥平面C₁BD，
∵AQ?平面α，∴平面α⊥平面C₁BD，
∴tan∠A₁AS=$\frac{{A}_{1}S}{A{A}_{1}}$=$\frac{1}{2}$．
故選：D．

點評 本題考查平角的正切值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力、數據處理能力，考查數形結合思想，是中檔題．