Question

【題目】已知函數(shù)，其中．

（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若，討論關(guān)于x的方程在區(qū)間上實(shí)根的個(gè)數(shù)．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是．當(dāng)時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是．（Ⅱ）當(dāng)或時(shí)，原方程在上僅有一個(gè)實(shí)根；當(dāng)時(shí)，原方程在上有兩個(gè)實(shí)根．

【解析】

（Ⅰ）求導(dǎo)后，對(duì)分類討論，利用導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)可得單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）顯然是方程的實(shí)根，在的條件下，由（Ⅰ）的單調(diào)性可得關(guān)于x的方程在區(qū)間上無(wú)實(shí)根，當(dāng)時(shí)，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)并對(duì)分類討論可求得結(jié)果.

（Ⅰ）由條件，得

令，得．

當(dāng)時(shí)，由，得，由，得．

所以的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是．

當(dāng)時(shí)，由，得，由，得．

所以的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是．

（Ⅱ）因?yàn)?/span>，所以是方程的實(shí)根．

當(dāng)時(shí)，由（Ⅰ）知單調(diào)遞增，所以．而，

所以方程在區(qū)間上無(wú)實(shí)根．

當(dāng)時(shí)，．

設(shè)，

則．

設(shè)，

當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增．

①當(dāng)，即時(shí)，在區(qū)間上，總有，從而，所以在上單調(diào)遞增，，即原方程在上無(wú)實(shí)根．

②當(dāng)，即時(shí)，因?yàn)?/span>，所以存在，滿足．

所以在上，，單調(diào)遞減，在上，，單調(diào)遞增．

又因?yàn)?/span>，，

所以當(dāng)，即時(shí)，原方程在上有唯一實(shí)根，

當(dāng)，即時(shí)，原方程在上無(wú)實(shí)根；

綜上所述，當(dāng)或時(shí)，原方程在上僅有一個(gè)實(shí)根；

當(dāng)時(shí)，原方程在上有兩個(gè)實(shí)根．