Question

1．已知函數f（x）=sin（2x-$\frac{π}{4}$）+cos（2x-$\frac{3π}{4}$），x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期和最大值；
（2）已知α，β∈（0，$\frac{π}{2}$），且f（α）=$\sqrt{2}$，cos（α+β）=$\frac{1}{3}$，求tanβ的值．

Answer 1

分析 （1）利用兩角差的三角公式化簡f（x）的解析式，再利用正弦函數的周期性和最值，求得f（x）的最小正周期和最大值．
（2）由條件利用同角三角函數的基本關系求得α的值，可得cos（α+β）=cos（$\frac{π}{4}$+β）的值，從而求得tan（β+$\frac{π}{4}$）的值，再利用兩角差的三角公式求得tanβ=tan[（$\frac{π}{4}$+β）-$\frac{π}{4}$]的值．

解答 解：（1）$f（x）=sin2xcos\frac{π}{4}-cos2xsin\frac{π}{4}+cos2xcos\frac{3π}{4}+sin2xsin\frac{3π}{4}$=$\sqrt{2}sin2x-\sqrt{2}cos2x=2sin（2x-\frac{π}{4}）$，
故周期T=π，f（x）_max=2．
（2）解：由$f（α）=\sqrt{2}$，得$sin（2α-\frac{π}{4}）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，又$α∈（0，\frac{π}{2}）$，所以$2α-\frac{π}{4}∈（-\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}）$，∴$2α-\frac{π}{4}=\frac{π}{4}$，∴$α=\frac{π}{4}$．
∴$cos（α+β）=cos（\frac{π}{4}+β）=\frac{1}{3}$．
又$β∈（0，\frac{π}{2}）$，∴$sin（\frac{π}{4}+β）=\sqrt{1-{{cos}^2}（\frac{π}{4}+β）}=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$，∴$tan（\frac{π}{4}+β）=\frac{{sin（\frac{π}{4}+β）}}{{cos（\frac{π}{4}+β）}}=2\sqrt{2}$，
∴$tanβ=tan（\frac{π}{4}+β-\frac{π}{4}）=\frac{{tan（\frac{π}{4}+β）-tan\frac{π}{4}}}{{1+tan（\frac{π}{4}+β）tan\frac{π}{4}}}=\frac{{2\sqrt{2}-1}}{{1+2\sqrt{2}}}=\frac{{9-4\sqrt{2}}}{7}$．

點評 本題主要考查正弦函數的周期性和最值，同角三角函數的基本關系，兩角差的三角公式的應用，屬于基礎題．