Question

已知過拋物線y²＝2px(p>0)的焦點，斜率為2的直線交拋物線于A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)(x₁<x₂)兩點，且|AB|＝9.

(1)求該拋物線的方程；

(2)O為坐標原點，C為拋物線上一點，若＝＋λ，求λ的值.

Answer 1

(1)拋物線y²＝2px(p>0)的焦點坐標為(，0)，所以直線AB過點(，0)，斜率為2，所以直線AB的方程是y＝2(x－)，與拋物線方程y²＝2px聯立，消去y整理得：4x²－5px＋p²＝0，所以x₁＋x₂＝，由拋物線的定義得：|AB|＝x₁＋x₂＋p＝9，解得p＝4，因此拋物線方程為：y²＝8x.

(2)由p＝4及4x²－5px＋p²＝0得x²－5x＋4＝0，解得：x₁＝1，x₂＝4，y₁＝－2，y₂＝4，從而A(1，－2)，B(4,4)，設C(x₃，y₃)，則有＝(x₃，y₃)，＋λ＝(1，－2)＋λ(4,4)＝(1＋4λ，－2＋4λ)，又因為＝＋λ，所以(x₃，y₃)＝(1＋4λ，－2＋4λ)，

即x₃＝1＋4λ，y₃＝－2＋4λ，

又因為y＝8x₃，即(－2＋4λ)²＝8(1＋4λ)，

即(2λ－1)²＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.