Question

9．已知數列{a_n}滿足：a₁=$\frac{3}{8}$，a_n+2-a_n≤3ⁿ，a_n+6-a_n≥91•3ⁿ，則a₂₀₁₅=（　　）

• A． $\frac{{3}^{2015}}{2}$+$\frac{3}{2}$
• B． $\frac{{3}^{2015}}{8}$
• C． $\frac{{3}^{2015}}{8}$+$\frac{3}{2}$
• D． $\frac{{3}^{2015}}{2}$

Answer 1

分析 由題意可得a_n+2-a_n=3ⁿ，利用“累加求和”方法可得a_2n+1-a₁=3¹+3³+3⁵+…+3^2n-1，進而得出．

解答 解：∵a_n+2-a_n≤3ⁿ，∴${a}_{n+4}-{a}_{n+2}≤{3}^{n+2}$，a_n+6-a_n+4≤3ⁿ⁺⁴，
∴a_n+6-a_n≤91•3ⁿ，
又a_n+6-a_n≥91•3ⁿ，
∴a_n+6-a_n=91•3ⁿ，
由題意可得a_n+2-a_n=3ⁿ，∴a_n+4-a_n+2=3ⁿ⁺²，a_n+6-a_n+4=3ⁿ⁺⁴，
∵a_n+2-a_n=3ⁿ，
∴a_2n+1-a₁=3¹+3³+3⁵+…+3^2n-1，
∴a_2n+1=${a}_{1}+{3}^{1}$+3³+3⁵+…+3^2n-1，
a₂₀₁₅=$\frac{3}{8}$+3¹+3³+3⁵+…+3²⁰¹³=$\frac{3}{8}$+$\frac{3（{9}^{1007}-1）}{9-1}$=$\frac{{3}^{2015}}{8}$，
故選：B．

點評 本題考查了等比數列的通項公式及其前n項和公式、“累加求和”方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．