Question

3．定義函數${f_a}（x）={4^x}-（a+1）•{2^x}+a$，其中x為自變量，a為常數．
（I）若當x∈[0，2]時，函數f_a（x）的最小值為一1，求a之值；
（II）設全集U=R，集A={x|f₃（x）≥f_a（0）}，B={x|f_a（x）+f_a（2-x）=f₂（2）}，且（∁_UA）∩B≠∅中，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）若當x∈[0，2]時，換元，得到φ（t）=t²-（a+1）t+a，t∈[1，4]，分類討論，利用函數f_a（x）的最小值為-1，求a之值；
（II）令t=${2}^{x}+\frac{4}{{2}^{x}}$，則t∈[4，5），方程（t²-8）-（a+1）t+2a-6在[4，5）上有解，也等價于方程$a=\frac{{{t^2}-t-14}}{t-2}$在t∈[4，5）上有解，利用基本不等式，即可求a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）令t=2^x，∵x∈[0，2]，∴t∈[1，4]，
設φ（t）=t²-（a+1）t+a，t∈[1，4]…（1分）
1°當$\frac{a+1}{2}≤1$，即a≤1時，f_min（x）=φ（1）=0，與已知矛盾；…（2分）
2°當$1＜\frac{a+1}{2}＜4$，即$1＜a＜7，{f_{min}}（x）=φ（\frac{a+1}{2}）={（\frac{a+1}{2}）^2}-\frac{{{{（a+1）}^2}}}{2}+a=-1$，
解得a=3或a=-1，∵1＜a＜7，∴a=3；…（3分）
3°當$\frac{a+1}{2}≥4$，即a≥7，f_min（x）=φ（4）=16-4a-4+a=1，
解得$a=\frac{13}{3}$，但與a≥7矛盾，故舍去…（4分）
綜上所述，a之值為3…（5分）
（Ⅱ）∁_UA={x|4^x-4•2^x+3＜0}={x|0＜x＜log₂3}…（6分）
B={x|4^x-（a+1）•2^x+a+4^2-x-（a+1）•2^2-x+a=6}=$\{x|（{4^x}+\frac{16}{4^x}）-（a+1）（{2^x}+\frac{4}{2^x}）+2a-6=0\}$．…（7分）
由已知（∁_UA）∩B≠∅即$（{4}^{x}+\frac{16}{{4}^{x}}）$-（a+1）（${2}^{x}+\frac{4}{{2}^{x}}$）+2a-6=0在（0，log₂3）內有解，
令t=${2}^{x}+\frac{4}{{2}^{x}}$，則t∈[4，5），方程（t²-8）-（a+1）t+2a-6在[4，5）上有解，
也等價于方程$a=\frac{{{t^2}-t-14}}{t-2}$在t∈[4，5）上有解…（9分）
∵$h（t）=\frac{{{t^2}-t-14}}{t-2}=t+1-\frac{12}{t-2}$在t∈[4，5）上單調遞增，…（10分）
∴h（t）∈[-1，2）…（11分）
故所求a的取值范圍是[-1，2）…（12分）

點評 本題考查二次函數的最值，考查分類討論的數學思想，考查換元法的運用，屬于中檔題．