Question

15．已知函數(shù)$f（x）=-\frac{1}{3}{x^3}+{x^2}+（{{m^2}-1}）x$（x∈R），其中m＞0為常數(shù)．
（1）當(dāng)m=1時，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)m=1，我們易求出f（1）及f′（1）的值，代入點(diǎn)斜式方程即可；
（2）由已知我們易求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)值為0，我們則求出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，根據(jù)m＞0，我們可將函數(shù)的定義域分成若干個區(qū)間，分別在每個區(qū)間上討論導(dǎo)函數(shù)的符號，即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答 解：（1）當(dāng)m=1時，f（x）=-$\frac{1}{3}$x³+x²，f′（x）=-x²+2x，故f′（1）=1．
所以曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線的斜率為1，
而f（1）=$\frac{2}{3}$，
故切線方程是：y-$\frac{2}{3}$=x-1，
整理得：y=x-$\frac{1}{3}$；
（2）f′（x）=-x²+2x+m²-1．
令f′（x）=0，解得x=1-m，或x=1+m．
因?yàn)閙＞0，所以1+m＞1-m．
當(dāng)x變化時，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，1-m）	1-m	（1-m，1+m）	1+m	（1+m，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	遞減	極小值	遞增	極大值	遞減

所以f（x）在（-∞，1-m），（1+m，+∞）內(nèi)是減函數(shù)，在（1-m，1+m）內(nèi)是增函數(shù)．
函數(shù)的極小值為：f（1-m）=-$\frac{2}{3}$m³+m²-$\frac{1}{3}$；
函數(shù)的極大值為：f（1+m）=$\frac{2}{3}$m³+m²-$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，其中根據(jù)已知函數(shù)的解析式求出導(dǎo)函數(shù)的解析式是解答本題的關(guān)鍵．