Question

13．設函數(shù)f（x）=4sinx（cosx-sinx）+3
（Ⅰ）當x∈（0，π）時，求f（x）的單調遞減區(qū)間；
（Ⅱ）若f（x）在[0，θ]上的值域為[0，2$\sqrt{2}$+1]，求cos2θ的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）化簡函數(shù)f（x）為正弦型函數(shù)，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質即可求出f（x）的單調減區(qū)間；
（Ⅱ）根據(jù)題意，求出sin（2θ+$\frac{π}{4}$）的值，再根據(jù)同角的三角函數(shù)關系和三角恒等變換求出cos2θ的值．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=4sinx（cosx-sinx）+3
=4sinxcosx-4sin²x+3
=2sin2x-4×$\frac{1-cos2x}{2}$+3
=2sin2x+2cos2x+1
=2$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+1，
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，
解得kπ+$\frac{π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{8}$，k∈Z，
又x∈（0，π），
所以f（x）的單調遞減區(qū)間是[$\frac{π}{8}$，$\frac{5π}{8}$]；
（Ⅱ）由f（x）=2$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+1在[0，θ]上的值域為[0，2$\sqrt{2}$+1]，
令x=0，得f（0）=2$\sqrt{2}$sin$\frac{π}{4}$+1=3；
令f（x）=2$\sqrt{2}$+1，得sin（2x+$\frac{π}{4}$）=1，
解得x=$\frac{π}{8}$，∴θ＞$\frac{π}{8}$；
令f（x）=0，得sin（2x+$\frac{π}{4}$）=-$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
∴2x+$\frac{π}{4}$＜$\frac{3π}{2}$，
解得x＜$\frac{5π}{8}$，即θ＜$\frac{5π}{8}$；
∴θ∈（$\frac{π}{8}$，$\frac{5π}{8}$），
∴2θ+$\frac{π}{4}$∈（$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{2}$）；
由2$\sqrt{2}$sin（2θ+$\frac{π}{4}$）+1=0，
得sin（2θ+$\frac{π}{4}$）=-$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
所以cos（2θ+$\frac{π}{4}$）=-$\sqrt{1{-（-\frac{\sqrt{2}}{4}）}^{2}}$=-$\frac{\sqrt{14}}{4}$，
所以cos2θ=cos[（2θ+$\frac{π}{4}$）-$\frac{π}{4}$]
=cos（2θ+$\frac{π}{4}$）cos$\frac{π}{4}$+sin（2θ+$\frac{π}{4}$）sin$\frac{π}{4}$
=-$\frac{\sqrt{14}}{4}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$+（-$\frac{\sqrt{2}}{4}$）×$\frac{\sqrt{2}}{2}$
=-$\frac{\sqrt{7}+1}{4}$．

點評 本題考查了三角恒等變換以及三角函數(shù)的圖象與性質的應用問題，是綜合性題目．