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13.設函數(shù)f(x)=4sinx(cosx-sinx)+3
(Ⅰ)當x∈(0,π)時,求f(x)的單調遞減區(qū)間;
(Ⅱ)若f(x)在[0,θ]上的值域為[0,2$\sqrt{2}$+1],求cos2θ的值.

分析 (Ⅰ)化簡函數(shù)f(x)為正弦型函數(shù),根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質即可求出f(x)的單調減區(qū)間;
(Ⅱ)根據(jù)題意,求出sin(2θ+$\frac{π}{4}$)的值,再根據(jù)同角的三角函數(shù)關系和三角恒等變換求出cos2θ的值.

解答 解:(Ⅰ)函數(shù)f(x)=4sinx(cosx-sinx)+3
=4sinxcosx-4sin2x+3
=2sin2x-4×$\frac{1-cos2x}{2}$+3
=2sin2x+2cos2x+1
=2$\sqrt{2}$sin(2x+$\frac{π}{4}$)+1,
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$,k∈Z,
解得kπ+$\frac{π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{8}$,k∈Z,
又x∈(0,π),
所以f(x)的單調遞減區(qū)間是[$\frac{π}{8}$,$\frac{5π}{8}$];
(Ⅱ)由f(x)=2$\sqrt{2}$sin(2x+$\frac{π}{4}$)+1在[0,θ]上的值域為[0,2$\sqrt{2}$+1],
令x=0,得f(0)=2$\sqrt{2}$sin$\frac{π}{4}$+1=3;
令f(x)=2$\sqrt{2}$+1,得sin(2x+$\frac{π}{4}$)=1,
解得x=$\frac{π}{8}$,∴θ>$\frac{π}{8}$;
令f(x)=0,得sin(2x+$\frac{π}{4}$)=-$\frac{\sqrt{2}}{4}$,
∴2x+$\frac{π}{4}$<$\frac{3π}{2}$,
解得x<$\frac{5π}{8}$,即θ<$\frac{5π}{8}$;
∴θ∈($\frac{π}{8}$,$\frac{5π}{8}$),
∴2θ+$\frac{π}{4}$∈($\frac{π}{2}$,$\frac{3π}{2}$);
由2$\sqrt{2}$sin(2θ+$\frac{π}{4}$)+1=0,
得sin(2θ+$\frac{π}{4}$)=-$\frac{\sqrt{2}}{4}$,
所以cos(2θ+$\frac{π}{4}$)=-$\sqrt{1{-(-\frac{\sqrt{2}}{4})}^{2}}$=-$\frac{\sqrt{14}}{4}$,
所以cos2θ=cos[(2θ+$\frac{π}{4}$)-$\frac{π}{4}$]
=cos(2θ+$\frac{π}{4}$)cos$\frac{π}{4}$+sin(2θ+$\frac{π}{4}$)sin$\frac{π}{4}$
=-$\frac{\sqrt{14}}{4}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$+(-$\frac{\sqrt{2}}{4}$)×$\frac{\sqrt{2}}{2}$
=-$\frac{\sqrt{7}+1}{4}$.

點評 本題考查了三角恒等變換以及三角函數(shù)的圖象與性質的應用問題,是綜合性題目.

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