Question

已知雙曲線左右兩焦點為F₁，F₂，P為右支上一點，PF₂⊥F₁F₂，OH₂⊥PF₁于H，OH=λOF₁，．
（1）求雙曲線的離心率e的取值范圍；
（2）當e取得最大值時，過F₁，F₂，P的圓截y軸的線段長為4，求該圓方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）用λ表示離心率的平方，據λ的范圍求出離心率平方得最值，可得離心率的范圍，
（2）確定圓心位置及直徑，進而得到半徑，寫出圓的標準方程．
解答：解：（1）由題意
=，在 上單調遞增函數．
∴時，e²最大3，時，e²最小 2，
∴2≤e²≤3，∴．
（2）當 時，，∴，∴b²=2a²．
∵PF₂⊥F₁F₂，∴PF₁是圓的直徑，圓心是PF₁的中點，
∴在y軸上截得的弦長就是直徑，∴PF₁=4．
又 ，∴．
∴，圓心C（0，1），半徑為2，x²+（y-1）²=4．
點評：本題的考點是圓與圓錐曲線的綜合，主要考查圓的標準方程、雙曲線的性質、直線和圓錐曲線的關系． 關鍵是用λ表示離心率的平方，進而得解．