Question

已知雙曲線左右兩焦點為F₁，F₂，P是右支上一點，PF₂⊥F₁F₂，OH⊥PF₁于H，．
（1）當時，求雙曲線的漸近線方程；
（2）求雙曲線的離心率e的取值范圍；
（3）當e取最大值時，過F₁，F₂，P的圓的截y軸的線段長為8，求該圓的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由相似三角形得到比例式，找出a、b的關系，把λ值代入求的值，進而得到雙曲線的漸近線方程；
（2）用λ表示離心率的平方，據λ的范圍求出離心率平方得最值，可得離心率的范圍，
（3）確定圓心位置及直徑，進而得到半徑，寫出圓的標準方程．
解答：解：由相似三角形知，，，
∴2a²λ+b²λ=b²，2a²λ=b²（1-λ），．
（1）當時，，∴a=b，y=±x．
（2）
=，在上單調遞增函數．
∴時，e²最大3，時，e²最小，
∴，∴．
（3）當時，，∴b² =2a²．
∵PF₂⊥F₁F₂，∴PF₁是圓的直徑，圓心是PF₁的中點．再由弦的性質可得圓心還在線段F₁F₂的中垂線（y軸）上，
∴在y軸上截得的弦長就是直徑，∴PF₁=8．
又，∴．
∴，故圓心C（0，2），半徑為4，
故所求的圓的方程為 x²+（y-2）²=16．
點評：本題考查圓的標準方程、雙曲線的性質、直線和圓錐曲線的關系，屬于中檔題．