Question

如圖,橢圓的中心在坐標原點，長軸端點為A，B,右焦點為F,且.

(I) 求橢圓的標準方程；

(II)過橢圓的右焦點F作直線，直線l₁與橢圓分別交于點M,N，直線l₂與橢圓分別交于點P,Q,且，求四邊形MPNQ的面積S的最小值.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）設橢圓的方程為,則由題意知,

又∵即∴,

故橢圓的方程為:……………………………………………….2分

(Ⅱ)設.

則由題意, ,

即  

整理得,

即

所以………………………………………………………………6分

(注: 證明,用幾何法同樣得分)

①若直線中有一條斜率不存在,不妨設的斜率不存在,則可得軸,

∴  ,

故四邊形的面積…….…….…….7分

②若直線的斜率存在,設直線的方程: ,則

由得,

設,則

…………….9分

同理可求得，………………………….10分

故四邊形的面積:

取“=”,

綜上，四邊形的面積的最小值為

【解析】略