Question

（2013•烏魯木齊一模）如圖，橢圓的中心在坐標原點O，頂點分別是A₁，A₂，B₁，B₂，焦點為F₁，F₂，延長B₁F₂與A₂B₂交于P點，若∠B₁PA₂為鈍角，則此橢圓的離心率的取值范圍為（　　）

• A．(0，

  5 +1

  4

  )
• B．(

  5 +1

  4

  ，1)
• C．(0，

  5 -1

  2

  )
• D．(

  5 -1

  2

  ，1)

Answer 1

分析：由題意，∠B₁PA₂就是

B2A2

與

F2B1

的夾角，設橢圓的長半軸、短半軸、半焦距分別為a，b，c，則

B2A2

=（a，-b）、

F2B1

=（-c，-b），由向量的夾角為鈍角可得-ac+b²＜0，把b²=a²-c²代入不等式，從而可求橢圓離心率的取值范圍．

解答：解：由題意，∠B₁PA₂就是

B2A2

與

F2B1

的夾角，
設橢圓的長半軸、短半軸、半焦距分別為a，b，c，則

B2A2

=（a，-b）、

F2B1

=（-c，-b），
由向量的夾角為鈍角知道

B2A2

與

F2B1

的數量積小于0，所以有：-ac+b²＜0，
把b²=a²-c²代入不等式得：a²-ac-c²＜0，除以a²得1-e-e²＜0，
即e²+e-1＞0，解得e＜

-1- 5

2

或e＞

-1+ 5

2

，
又0＜e＜1，所以

-1+ 5

2

＜e＜1，
所以橢圓離心率的取值范圍為（

-1+ 5

2

，1）
故選D．

點評：本題考查橢圓的幾何性質，解題的關鍵是利用道

B2A2

與

F2B1

的數量積小于0，建立不等式，屬于中檔題．